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有甲、乙两堆小球.甲堆小球比乙堆多,而且甲堆球数比560多,但不超过640,从甲堆拿出与乙堆同样多的球放入乙堆中;第二次,从乙堆拿出与甲堆剩下的同样多的球放到甲堆中;….如此

题目详情
有甲、乙两堆小球.甲堆小球比乙堆多,而且甲堆球数比560多,但不超过640,从甲堆拿出与乙堆同样多的球放入乙堆中;第二次,从乙堆拿出与甲堆剩下的同样多的球放到甲堆中;….如此继续下去,挪动五次以后,发现甲、乙两堆的小球一样多,那么,甲堆原有小球多少个?
▼优质解答
答案和解析
设第五次挪动后,甲、乙两堆各有小球x个,注意到两堆共有2x个小球,按两堆小球的变化顺序逆推:
第五次挪动前,乙堆有小球
1
2
x个,甲堆有小球2x-
1
2
x=
3
2
x个;
第四次挪动前,甲堆有小球
1
2
×
3
2
x=
3
4
x个,乙堆有小球2x-
3
4
x=
5
4
x个;
第三次挪动前,乙堆有小球
1
2
×
5
4
x=
5
8
x个,甲堆有小球2x-
5
8
x=
11
8
x个;
第二次挪动前,甲堆有小球
1
2
×
11
8
x=
11
16
x个,乙堆有小球2x-
11
16
x=
21
16
x个;
第一次挪动前即原来,乙堆有小球
1
2
×
21
16
x=
21
32
x个,甲堆有小球2x−
21
32
x=
43
32
x个.
设甲堆原有小球y个,那么y=
43
32
x,即32y=43x,
又因为32与43互质,所以y是43的倍数.
令y=43t(t为整数)
560<y≤640即560<43t≤640,
所以:13
1
43
560
43
<t≤
640
43
=14
38
43

因此t=14,y=43t=602.
答:甲堆原有小球602个.
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