如图所示，在坐标系xOy中，第一象限内充满着两个匀强磁场a和b，OP为分界线，在区域a中，磁感应强度为2B，方向垂直于纸面向里；在区域b中，磁感应强度为B，方向垂直于纸面向外，P点坐标

Question

如图所示，在坐标系xOy中，第一象限内充满着两个匀强磁场a和b，OP为分界线，在区域a中，磁感应强度为2B，方向垂直于纸面向里；在区域b中，磁感应强度为B，方向垂直于纸面向外，P点坐标为（4L，3L）．一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从P点沿y轴负方向射入区域b，经过一段时间后，粒子恰能经过原点O，不计粒子重力．（sin37°=0.6，cos37°=0.8）
求：（1）粒子从P点运动到O点的时间最少是多少？
（2）粒子运动的速度可能是多少？

Answer 1

（1）设粒子的入射速度为v，用R₁，R₂，T₁，T₂分别表示粒子在磁场I区和II区中运动的轨道半径和周期．
由牛顿第二定律得：qvB=m(v2)/(R1)，qv₂B=m(v2)/(R2)，
周期分别为：T₁=(2πR1)/(v)，T₂=(2πR2)/(v)，
粒子先在磁场I区中做顺时针的圆周运动，后在磁场II区中做逆时针的圆周运动，
然后从O点射出，这样粒子从P点运动到O点所用的时间最短．
粒子运动轨迹如图所示．tanα=(3L)/(4L)，解得：α=37°，α+β=90°
粒子在磁场I区和II区中的运动时间分别为：t₁=(2β)/(360°)T₁，t₂=(2β)/(360°)T₂，
粒子从P点运动到O点的时间至少为t=n（t₁+t₂ ） （n=1，2，3，…）
由以上各式解得：t=n(53πm)/(60qB)  （n=1、2，3，…），
粒子从P点运动到O点的时间最少是：(53πm)/(60qB)；
（2）粒子的速度大小满足一定条件时，粒子先在磁场I区中运动，后在磁场II区中运动，
然后又重复前面的运动，直到经过原点O．这样粒子经过n个周期性的运动到过O点，
每个周期的运动情况相同，粒子在一个周期内的位移为：
S=(OP)/(n)=(√((4L)2+(3L)2))/(n)=(5L)/(n)（n=1、2，3，…），
粒子每次在磁场I区中运动的位移为：S₁=(R1)/(R1+R2)S=(2)/(3)S，
由图中几何关系可知：((S1)/(2))/(R1)=cosα
由以上各式解得粒子的速度大小为：v=(25qBL)/(12nm)（n=1、2，3，…）  
答：（1）粒子从P点运动到O点的时间最少为：(53πm)/(60qB)；  
（2）粒子的速度大小是：(25qBL)/(12nm)（n=1、2，3，…）．