已知向量a=(根号3cosx,0）,b=(0,sinx),记函数f(x)=（ab)^2根号3sin2x)(1)求函数f(x)的最小值及取最小值时x的集合函数f（x）的单调递增区间

Question

已知向量a=(根号3cosx,0）,b=(0,sinx),记函数f(x)=（a b)^2 根号3sin2x)(1)求函数f(x)的最小值
及取最小值时x的集合 函数f（x）的单调递增区间

Answer 1

【分析】
本题以向量为载体,求三角函数的最值并讨论单调区间,着重考查了平面向量的坐标运算、三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识；
①根据平面向量的坐标运算得(向量a+向量b)²=1+2cos²x,再结合二倍角的余弦公式和辅助角公式化简,得到f(x)=2sin(2x+π/6)+2,最后根据正弦函数最值的结论,可得f(x)的最小值及取最小值时x的集合；
②根据①化简得的表达式,列出不等式(-π/2)+2kπ≤2x+(π/6)≤(π/2)+2kπ（k∈Z）,解此不等式再将它变成区间,即可得到函数f (x)的单调递增区间.
【解答】

①
∵向量a=(√3cosx,0),向量b=(0,sinx)
∴向量a+向量b=(√3cosx,sinx)
由此得：
(向量a+向量b)²=3cos²x+sin²x=1+2cos²x
f(x)=(向量a+向量b)²+√3sin2x
=1+2cos²x+√3sin2x
=cos2x+√3sin2x+2
=2sin(2x+π/6)+2
∴当2x+π/6=-π/2+2kπ（k∈Z）
即：
x=-π/3+kπ（k∈Z）时,f(x)有最小值为0
②
令-π/2+2kπ≤2x+π/6≤π/2+2kπ（k∈Z）
得：-π/3+kπ≤x≤π/6+kπ（k∈Z）
∴函数f (x)的单调递增区间为[-π/3+kπ,π/6+kπ],其中k∈Z.