设二维随机变量（X，Y）的密度函数为f（x，y）=2e?(x+2y)x＞0，y＞00&nbsp...设二维随机变量（X，Y）的密度函数为f（x，y）=2e?(x+2y)x＞0，y＞00其它，求随机变量Z=X+2Y的分布函数．

Question

设二维随机变量（X，Y）的密度函数为f（x，y）=2e?(x+2y) x＞0，y＞00 &nbsp...
设二维随机变量（X，Y）的密度函数为f（x，y）=

2e?(x+2y)  x＞0，y＞0

0        其它

，求随机变量Z=X+2Y的分布函数．

Answer 1

P（X+2Y≤z）?P（Y≤(z)/(2)?(x)/(2)）
显然：当z≤0时，F_Z（z）=0
当z＞0时：
F_Z（z）=

∫

+∞ ?∞

∫?∞(z)/(2)?(x)/(2)f(x，y)dydx=

∫

z 0

∫	(z)/(2)?(x)/(2) 0

f(x，y)dydx
=?

∫

z 0

[e(x+2y)

|	(z)/(2)?(x)/(2) 0

]dx=?

∫

z 0

(e?z?e?x)dx
=?(e?x+e?zx)

|

z 0

=1-e^-z-ze^-z
综上所述：
FZ(z)＝

1?e?z?ze?z，z＞0

0，   z≤0