I=∫∫∫zdxdydz,其中区域为{（x,y,z)|x^2+y^2+z^2≦R^2,x≧0,y≧0,z≧0}求I

Question

I=∫∫∫zdxdydz,其中区域为{（x,y,z)|x^2+y^2+z^2≦R^2,x≧0,y≧0,z≧0} 求I

Answer 1

用截面法,先积截面：x²+y²≤R²-z²,然后积z
∫∫∫zdxdydz
=∫[0--->R] (∫∫ z dxdy) dz 其中：二重积分的积分区域为x²+y²≤R²-z²,且x≥0,y≥0,是1/4个圆
=∫[0--->R] z dz(∫∫ 1 dxdy) 被积函数为1,积分结果是区域面积,这个1/4圆面积为：(1/4)π(R²-z²)
=(1/4)π∫[0--->R] z(R²-z²) dz
=(1/4)π∫[0--->R] (R²z-z³) dz
=(1/4)π[(1/2)R²z²-(1/4)z⁴] |[0--->R]
=(1/16)πR⁴