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求函数u=xyzx+y+z=15(x>0y>0z>0)下的最大值
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求函数u=xyz x+y+z=15(x>0y>0z>0)下的最大值
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答案和解析
作辅助函数,设F(x,y,z,λ)=xyz+λ(1/x+1/y+1/z-1/a) 令F'x(x,y,z,λ)=yz-λ/x²=0.(1) (符号F'x(x,y,z,λ)表示F关于x的偏导数,以下类同) F'y(x,y,z,λ)=xz-λ/y²=0.(2) F'z(x,y,z,λ)=xy-λ/z²=0.(3) F'λ(x,y,z,λ)=1/x+1/y+1/z-1/a=0.(4) 解方程组(1),(2),(3)得λ=x²yz=xy²z=xyz²==>x=y=z 代入(4)得x=y=z=3a 故此函数的极值=(3a)(3a)(3a)=27a³.
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