xy=a,x=a,x=2a,y=0围成的图形绕x轴旋转,求该旋转体体积

Question

xy=a,x=a,x=2a,y=0围成的图形绕x轴旋转,求该旋转体体积

Answer 1

无论 a 是大于 0 还是小于 0,旋转体的体积都是相同的,下面设 a>0（积分从 x=a→2a）；
若用垂直于 x 轴的平面切割旋转体,所得截面是半径为 y=a/x 的圆盘,故 dV=πy²dx；
∴ V=∫{x=a→2a}πy²dx=∫π(a/x)²dx=πa²∫dx/x²=πa²*(-1/x)|{a,2a}=πa/2；