设不等式组x＞0y＞0y≤-nx+3n所表示的平面区域为Dn，记Dn内的格点（格点即横坐标和纵坐标皆为整数的点）的个数为f（n）（n∈N*）．（1）求f（1）、f（2

Question

设不等式组

x＞0

y＞0

y≤-nx+3n

所表示的平面区域为D _n ，记D _n 内的格点（格点即横坐标和纵坐标皆为整数的点）的个数为f（n）（n∈N*）．
（1）求f（1）、f（2）的值及f（n）的表达式；
（2）设b _n =2 ⁿ f（n），S _n 为{b _n }的前n项和，求S _n ；
（3）记 T n =(f(n)f(n+1))/(2n) ，若对于一切正整数n，总有T _n ≤m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

画出

x＞0

y＞0

y≤-nx+3n

的可行域



（1）f（1）=2+1=3
f（2）=3+2+1=6
当x=1时，y=2n，可取格点2n个；当x=2时，y=n，可取格点n个
∴f（n）=3n
（2）由题意知：b _n =3n•2 ⁿ
S _n =3•2 ¹ +6•2 ² +9•2 ³ +…+3（n-1）•2 ^n-1 +3n•2 ⁿ
∴2S _n =3•2 ² +6•2 ³ +…+3（n-1）•2 ⁿ +3n•2 ⁿ⁺¹
∴-S _n =3•2 ¹ +3•2 ² +3•2 ³ +…3•2 ⁿ -3n•2 ⁿ⁺¹
=3（2+2 ² +…+2 ⁿ ）-3n•2 ⁿ⁺¹
=3• (2- 2n+1)/(1-2) -3n 2 n+1
=3（2 ⁿ⁺¹ -2）-3n ⁿ⁺¹
∴-S _n =（3-3n）2 ⁿ⁺¹ -6
S _n =6+（3n-3）2 ⁿ⁺¹
（3） T n =(f(n)f(n+1))/(2n) =(3n(3n+3))/(2n)

∵(Tn+1)/(Tn) =(((3n+3)(3n+6))/(2n+1))/((3n(3n+3))/(2n)) =(n+2)/(2n)

当n=1时，(n+2)/(2n) ＞1

当n=2时，(n+2)/(2n) =1

当n≥3时，(n+2)/(2n) ＜1

∴T ₁ ＜T ₂ =T ₃ ＞T ₄ ＞…＞T _n
故T _n 的最大值是T ₂ =T ₃ = (27)/(2)
∴m≥ (27)/(2) ．