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当0＜x＜2分之π时,求证：tanx＞X+3分之x的3次方
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当0＜x＜2分之π时,求证：tanx＞X+3分之x的3次方
▼优质解答
答案和解析
令F(x)=tanx-x-x^3/3
则F'(x)=1+tan^2x-1-x^2=tan^2x-x^2
明显tanx>x,x∈(0,∏/2)
所以F(x)>0,F(x)在(0,∏/2)内单调递增
又F(0)=0,F(x)恒>0
所以tanx>x+x^3/3,得证
PS:如果你知道tanx的泰勒展开式:
tanx=x+x^3/3+2x^5/15+...
明显的x>0时,tanx>x+x^3/3
则F'(x)=1+tan^2x-1-x^2=tan^2x-x^2
明显tanx>x,x∈(0,∏/2)
所以F(x)>0,F(x)在(0,∏/2)内单调递增
又F(0)=0,F(x)恒>0
所以tanx>x+x^3/3,得证
PS:如果你知道tanx的泰勒展开式:
tanx=x+x^3/3+2x^5/15+...
明显的x>0时,tanx>x+x^3/3
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