已知A,B,P是双曲线x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)上不同的三个点,且A,B连线经过坐标原点.若直线PA.PB的斜率的乘积Kpa*Kpb=2/3,则该双曲线的离心率为

Question

已知A,B,P是双曲线x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)上不同的三个点,且A,B连线经过坐标原点.
若直线PA.PB的斜率的乘积Kpa*Kpb=2/3,则该双曲线的离心率为

Answer 1

双曲线关于原点对称的.
∵A,B连线经过坐标原点
∴A,B关于原点对称
设A,P坐标分别为A(x1,y1),P(x2,y2)
那么B坐标为 (-x1,-y1)
则K(PA)=(y2-y1)/(x2-x1)
K(PB)=(y2+y1)/(x2+x1)
K(PA)·K(PB)=[(y2-y1)/(x2-x1)]·[(y2+y1)/(x2+x1)]
=[(y2)^2-(y1)^2]/[(x2)^2-(x1)^2]
已知 K(PA)·K(PB)=2/3
∴ [(y2)^2-(y1)^2]/[(x2)^2-(x1)^2]=2/3 ①
∵A,B,P在双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1上
∴(x1)^2/a^2-(y1)^2/b^2=1 ②
(x2)^2/a^2-(y2)^2/b^2=1 ③
③-②得：
[(x2)^2-(x1)^2]/a^2-[(y2)^2-(y1)^2]/b^2=0
移项,得 [(x2)^2-(x1)^2]/a^2=[(y2)^2-(y1)^2]/b^2
从而 b^2/a^2=[(y2)^2-(y1)^2]/[(x2)^2-(x1)^2] ④
由①④得 b^2/a^2=2/3
∵ c^2=a^2+b^2
∴ c^2=a^2+2/3*a^2=5/3*a^2
从而 c^2/a^2=5/3
又 e=c/a
由 即e^2=5/3
∴e=√(5/3)=√(15)/3
所以该双曲线的离心率=√15/3