设a、b、c为互异实数,则{（abc）（a^2b^2c^2）（b+cc+aa+b）}=0的充要条件为.这是线性代数（经管类）的练习题,麻烦给出具体解题步骤,谢谢!

Question

设a、b、c为互异实数,则{（a b c）（a^2 b^2 c^2）（b+c c+a a+b）}=0的充要条件为___.
这是线性代数（经管类）的练习题,麻烦给出具体解题步骤,谢谢!

Answer 1

由于{（a b c）（a^2 b^2 c^2）（a b c）}=0
与原式相加得：
{（a b c）（a^2 b^2 c^2）（a+b+c b+c+a c+a+b）}
=（a+b+c）{（a b c）（a^2 b^2 c^2）（1 1 1）}
=（a+b+c）{（1 1 1）（a b c）（a^2 b^2 c^2）}
而{（1 1 1）（a b c）（a^2 b^2 c^2）}为范德蒙德行列式等于(b-a)(c-b)(c-a)
故原式化简为：
(b-a)(c-b)(c-a)(a+b+c)=0
由题设a、b、c为互异实数
故其充要条件为(a+b+c)=0.