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a＞0b＞0a＋b＝1请用柯西不等式证明(a＋1/a)∧2＋(b＋1/b)∧2大于等于25/2打掉了不好意思哦
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a＞0 b＞0 a＋b＝1请用柯西不等式证明 (a＋1/a)∧2 ＋(b＋1/b)∧2
大于等于25/2 打掉了 不好意思哦
大于等于25/2 打掉了 不好意思哦
▼优质解答
答案和解析
用柯西不等式：2(a²+b²) = (a²+b²)+(a²+b²) ≥ (a+b)² = 1 ,所以 a²+b² ≥ 1/2 ；
(a+b)² = a²+b²+2ab ≥ 2ab+2ab = 4ab ,
所以,1/ 4 ≥ ab 即1/ ab ≥4
(a+1/a)²= a²+1/a²+2 (b+1/b)²=b²+1/b²+2
所以,原式= a²+b²+1/a²+1/b²+4
= (a²+b²)+(a²+b²)/(ab)²+4
≥ 1/2+(1/2)*4²+4 = 25/2
(a+b)² = a²+b²+2ab ≥ 2ab+2ab = 4ab ,
所以,1/ 4 ≥ ab 即1/ ab ≥4
(a+1/a)²= a²+1/a²+2 (b+1/b)²=b²+1/b²+2
所以,原式= a²+b²+1/a²+1/b²+4
= (a²+b²)+(a²+b²)/(ab)²+4
≥ 1/2+(1/2)*4²+4 = 25/2
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