1.已知z∈C,解方程z^2-2|z|+6=02.设u=|x^2+mx+1|,其中|x|=1,x∈C,m∈R^+,求u的最大值和最小值3.是否存在复数z1,z2,同时满足|z1|=|z2|=1及z1+z2=1/2+√3/2i?若存在,求出z1,z2.若不存在,请说明理由

Question

1.已知z∈C,解方程z^2-2|z|+6=0
2.设u=|x^2+mx+1|,其中|x|=1,x∈C ,m∈R^+,求u的最大值和最小值
3.是否存在复数z1,z2,同时满足|z1|=|z2|=1及z1+z2=1/2+√3/2i?若存在,求出z1,z2.若不存在,请说明理由

Answer 1

1.令z = a + bi
则z² = a² - b² + 2abi
|z| = √(a² + b²)
因z²+|z|=-6是实数
故ab=0
a=0时b=3或-3
b=0时a不存在
故z=±3i是原方程的解
2.令x = cost + isint
则u = |cos²t - sin²t + 2icostsint + mcost + imsint + 1|
=√[(2cos²t + mcost)² + (2costsint + msint)²]
=√(4cos²t + 4mcost + m²)
=|2cost + m|
当0≤m≤2时
0≤u≤m+2
当m>2时
m-2 < u < m+2
这就是所求的u的最值
3.设z1 = cosα + isinα
z2 = cosβ + isinβ
则cosα + isinα + cosβ + isinβ = 1/2 + √3/2 i
即cosα + cosβ = 1/2
sinα + sinβ = √3/2
两式两边分别平方,得
cos²α + cos²β + 2cosαcosβ = 1/4
sin²α + sin²β + 2sinαsinβ = 3/4
再相加,得
2 + 2cos(α-β) = 1
cos(α-β) = -1/2
α-β = 2π/3
把α = β + 2π/3代入sinα + sinβ = √3/2得
sin(π/3 + β) = √3/2
故β=0或π/3
经验算,只有β=0,α=2π/3满足题意
故z1=1,z2=-1/2 + √3/2 i
或z1=-1/2 + √3/2 i,z2=1