数学题0727(3)设集合M={1,2,3,…,1000},对于M的任一非空子集Z,令a(Z)表示Z中最大数与最小数之和,那么所有这样的a(Z)的算术平均数为.1001）

Question

数学题0727(3)
设集合M={1,2,3,…,1000},对于M的任一非空子集Z,令a(Z)表示Z中最大数与最小数之和,那么所有这样的a(Z)的算术平均数为________.1001）

Answer 1

我们先求出每一非空子集Z的最小值之和S1及最大值之和S2,那么由于M的非空子集有2^1000-1个,那么(S1+S2)/(2^1000-1)为所求
怎么求S1?我们对M的子集进行归类：
以1为最小值的集合个数就是集合{2,3,……,1000}的子集个数
以2为最小值的集合个数就是集合{3,4,……,1000}的子集个数
以3为最小值的集合个数就是集合{4,5,……,1000}的子集个数
…………………………
以999为最小值的集合个数就是集合{1000}的子集个数
以1000为最小值的集合只有集合{1000}1个
所以,S1=1*2^999+2*2^998+…+n*2^(1000-n)+…+999*2^1+1000*1
同理分析S2,则
S2=1+2*2+3*2^2+……+m*2^(m-1)+……+999*2^998+1000*2^999
将S1和S2首尾相加S1+S2=1001*(2^999+2^998+……+2+1)
=1001*(2^1000-1),所以(S1+S2)/(2^1000-1)=1001为所求.