f(x)=2ax^3+(b−2a)x^2−(a+b−1)x+a−1i):求证,当|b|>根号2,a+b+1≠0,f(x)=0有三个不相等的实数根;ii)当x∈[−1,0]时,f(x)≤0恒成立,求a+b的最大值.

Question

f(x)=2ax^3+(b−2a)x^2−(a+b−1)x+a−1 i):求证,当|b|>根号2,a+b+1≠0,f(x)=0有三个不相等的实数根;ii)当x∈[−1,0]时,f(x)≤0恒成立,求a+b的最大值.

Answer 1

原式=（x-1）【2ax^2+bx-a+1】 可知x=1是方程的一个根.另外,当x=1时,中括号内方程变为a+b+1,由已知：a+b+1≠0,所以x=1不是方程2ax^2+bx-a+1的根.再根据二次方程根的判别式,写出中括号内二次方程根的判别式,根据已知b|>根号2,推出根的判别式大于0,方程有两不等实根.综上,方程有三个不等实根得证.
第二问比较简单,因当x∈[−1,0]时,所以（x-1）小于0；又因此时f(x)≤0恒成立,可知中括号内的方程必定大于等于0,当x=0时,【2ax^2+bx-a+1】大于等于0变为1-a大于等于0即a小于等于1；当x=-1时,变为a+1-b大于等于0即b小于等于1+a,因为a小于等于1,可知b小于等于2.综上,a+b的最大值为3.