设曲线x1n+y1n=1（正整数n≥1）在第一象限与坐标轴围成图形的面积为I（n），证明：（1）I（n）=2n∫10(1−t2)nt2n−1dt（2）I（n）=2n4n∫π20sin2n−1tdt且I（n）＜2n4n（n＞1）（3）∞n＝1I(n)＜1．

Question

设曲线x(1)/(n)+y(1)/(n)=1（正整数n≥1）在第一象限与坐标轴围成图形的面积为I（n），证明：
（1）I（n）=2n

∫

1 0

(1−t2)nt2n−1dt
（2）I（n）=(2n)/(4n)

∫

(π)/(2) 0

sin2n−1tdt且I（n）＜(2n)/(4n)（n＞1）
（3）

∞

n＝1

I(n)＜1．

Answer 1

由已知条件，I（n）=

∫

1 0

y(x)dx=

∫

1 0

(1−x(1)/(n))ndx．
（1）令x=t²ⁿ（0≤t≤1），则dx=2nt^2n-1dt，从而，
I（n）=

∫

1 0

(1−x(1)/(n))ndx
=

∫

1 0

(1−t2)n•(2nt2n−1)dt
=2n

∫

1 0

(1−t2)nt2n−1dt．
（2）令t=sinu（0≤u≤(π)/(2)），则dt=cosudu，
从而，
I（n）=2n

∫

1 0

(1−t2)nt2n−1dt 
=2n

∫

(π)/(2) 0

cos2n+1usin2n−1udu．①
令t=(π)/(2)−u，则

∫

(π)/(2) 0

cos2n+1usin2n−1udu
=

∫

(π)/(2) 0

sinn+1ucos2n−1udu
=(1)/(2)

∫

(π)/(2) 0

(sin2n+1ucosn−1u+cos2n+1usin2n−1u)du
=(1)/(2)

∫

(π)/(2) 0 作业帮用户 2017-09-28 举报 举报该用户的提问 举报类型（必填） 色情低俗 辱骂攻击 侮辱英烈 垃圾广告 不良流行文化 骗取采纳 其他 举报理由（必填） 0/100 提交 问题解析 （1）令x=t2n（0≤t≤1）即可；（2）由（1）的结果，利用变换t=sinu（0≤u≤(π)/(2)）即可；（3）利用（2）中不等式，再证明 ∞ n＝2 (2n)/(4n)＜ ∞ n＝2 (1)/(2n)，从而可以证明结论． 名师点评 本题考点： 定积分在几何图形中的综合应用． 考点点评： 本题考查了计算定积分的换元积分法以及数项级数和的性质与计算，难度系数较大，需要熟练掌握相关知识点．在估计 ∞ n＝2 (2n)/(4n)的值时，我们先证明了 ∞ n＝2 (2n)/(4n)＜ ∞ n＝2 (1)/(2n)． 扫描下载二维码 ©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议