2.已知实数x,y,z满足x+y+2z=6,2xy+yz+zx=4,则z的最大值为多少?第二行应该为4xy+y(6-x-y)+x(6-x-y)=8则上式子为x^2+y^2-6x-6y+8-2xy=0

Question

2.已知实数x,y,z满足x+y+2z=6,2xy+yz+zx=4,则z的最大值为多少?
第二行应该为4xy+y(6-x-y)+x(6-x-y)=8
则 上式子为
x^2+y^2-6x-6y+8-2xy=0

Answer 1

解:2z=6-x-y
4xy+2y(6-x-y)+2x(6-x-y)=8
4xy+12y-2xy-2y^2+12x-2x^2-2xy=8
移项:2x^2+2y^2-12y-12x+8=0
x^2+y^2-6x-6y+8=0
x^2-6x+9+y^2-6y+9+8=18
(x-3)^2+(y-3)^2=10
因为是求Z的最大值 即求X+Y的最小值
又X,Y可看作以(3,3)为圆心 根号10为半径的圆上
令x+y=k 那么y=-x+k要与圆有交点且K取最小
可以很容易看出来 就是相切的时候成立
那么有圆心到直线距离等于半径
所以:D=(3+3-k)的绝对值/(根号2)=根号10
所以:(6-k)的绝对值=2根号5
k取小则k=6-2根号5
所以Z的最大值有: 2Z=6-(6-2根号5)
Z最大=根号5