X^3+Y^3=Z^3(Z≠0)如何求证X.Y.Z没有整数组解

Question

X^3+Y^3=Z^3 (Z≠0) 如何求证X.Y.Z没有整数组解

Answer 1

X^3+Y^3=Z^3
证:
因为X1=(2mn)^2/n
Y1=(m^2-n^2)^2/n
Z1=(m^2+n^2)^2/n
当仅当2/n=1,有正整数解.
设X1,Y1,Z1分别是不定方程 X^n+Y^n=Z^n的一组解.
1) 当n=2时,即2/n=2/2=1
X1=(2mn)^2/2=2mn
Y1=(m^2-n^2)^2/2=m^2-n^
Z1=(m^2+n^2)^2/2=m^2+n^2
代入原方程得
左边=(2mn)^2+(m^2-n^2)^2=4m^2n^2+m^4-2m^2n^2+n^4=m^4+2m^2n^2+n^4
右边=(m^2+n^2)^2=m^4+2m^2n^2+n^4
因为 左边=右边
所以有正整数解!
2) 当n≥3,时
因为
X1=(2mn)^2/n
Y1=(m^2-n^2)2/n
Z1=(m^2+n^2)^2/n
由于A^2+B^2=C^2,有正整数解必须符合勾股数
a=2mn,b=m^2-n^2,c=m^2+n^2,m,n是正整数,m>n,即2/n=1.n=1,2,3...
且:原不定方程与下列不定方程等价:
即 (√X^n)^2+(√Y^n)^2=(√Z^n)^2,注:此方程仍然是勾股方程
因此当n≥3之后,2/n＜1,即此时不定方程没有符合勾股数的解.
所以当n≥3之后不定方程
X^n+Y^n=Z^n,无XYZ≠0的正整数解.
"费尔马大猜想"证毕.