利用函数的泰勒展开式求下列极限（x^3+3x）^1/3-(x^2-x)^1/2

Question

利用函数的泰勒展开式求下列极限（x^3+3x）^1/3-(x^2-x)^1/2

Answer 1

(1) lim(x- >+∞)((x^3+3x^2)^(1/3)—(x^4-2x^3)^(1/4)) 
把上面式子提取出x
((x^3+3x^2)^(1/3)—(x^4-2x^3)^(1/4)) ＝ [(1+3/x)^(1/3)-(1-2/x)^(1/4)]x
令y=1/x带入,上式变成F(y) = ((1+3y)^(1/3)-(1-2y)^(1/4)]/y ,原来极限变成lim(y->0)F(y)
注意：做这个变换的目的是,Taylor无法在无穷大处展开
我们考虑(1+ay)^p的taylor展开g(y)=(1+ay)^p g'(y)=ap(1+ay)^(p-1),g''(y) = a^2p(p-1)(1+ay)^(p-2) g(0) = 1,g'(0)= ap,g''(0) = a^2p(p-1)
所以g(y) = 1 + apy + a^2p(p-1)y^2/2 高级部分对于y->0可以忽略
带入上面式子：
lim(y->0)F(y)=[1+3*(1/4)y+3*3*(1/4)(1/4-1)y^2 - 1 - (-2)*(1/3)y - ky^2]/y
最后一项y^2项的系数我没有计算是因为如果y项系数不为0时,y^2可以忽略,如果y项为0,极限必然为0
因此上述极限为3*(1/4) - (-2)*(1/3) = 3/4 +2/3 = 17/12
结果和答案不同,但是大致计算步骤如此,楼主再验算一下