方程xyz=2009的所有整数解有组．

Question

方程xyz=2009的所有整数解有 ______组．

Answer 1

这个2009可以看做是（整数）1×1×2009，1×7×287，7×7×41，1×49×41．
其中又有三个未知数一正两负和三正两种情况，
先说xyz在三正的情况下，有三个可能的解集，分别为1×1×2009，1×2009×1，2009×1×1，
在三未知数一正两负的情况下原本的 x、y、z就会出现3种可能；
如1×1×2009=1×（-1）×（-2009）=（-1）×（-1）×2009=（-1）×1×（-2009），
所以在一正两负的情况下原本的三个可能的解集就会衍生出9个可能的解集．
那么得出结论，1×1×2009这样的分组共有12个可能的解集，
在7×7×41时，也有类似的12个可能的解集．
但当1×7×287时，因为三个数值均不同，所以和上面两组不同，在三正的情况下有6个可能的解集，两正一负的情况下又有18个可能的解集．
同理1×49×41也有24个可能的解集．
综上所述，xyz=2009共有72组整数解．