求一个曲线积分∫xyzds,（∫下面有个字母Γ）其中Γ折线ABC,这里A,B,C依次是点(0,0,0,)、(1,2,3)、(1,4,3)

Question

求一个曲线积分
∫xyzds,（∫下面有个字母Γ） 其中Γ折线ABC,这里A,B,C依次是点(0,0,0,)、(1,2,3)、(1,4,3)

Answer 1

从A到B的折线方程是 c(t) = v*t,其中v=(1,2,3),这折线上,
ds = |v|dt = sqrt(14)*dt,x=t,y=2t,z=3t,所以
xyzds = 6*sqrt(14)*t^3*dt,故这段上的积分是
∫6*sqrt(14)*t^3*dt,t 从 0 到 1,得到 3*sqrt(14)/2
从B到C容易,ds = dy,xyzds = 3dy
∫3dy,y 从2到4,得到3*2=6
结果是 3*sqrt(14)/2 + 6