关于x，y的方程x2+xy+2y2=29的整数解（x，y）的组数为（）A．2组B．3组C．4组D．无穷多组

Question

关于x，y的方程x²+xy+2y²=29的整数解（x，y）的组数为（　　）

A．2组
B．3组
C．4组
D．无穷多组

Answer 1

可将原方程视为关于x的二次方程，将其变形为x²+yx+（2y²-29）=0．
由于该方程有整数根，则判别式△≥0，且是完全平方数．
由△=y²-4（2y²-29）=-7y²+116≥0，
解得y²≤(116)/(7)≈16.57．于是

y2	0	1	4	9	16
△	116	109	88	53	4

显然，只有y²=16时，△=4是完全平方数，符合要求．
当y=4时，原方程为x²+4x+3=0，此时x₁=-1，x₂=-3；
当y=-4时，原方程为x²-4x+3=0，此时x₃=1，x₄=3．
所以，原方程的整数解为

x1＝−1

y1＝4

x2＝−3

y2＝4

x3＝1

y3＝−4

x4＝3

y4＝−4.

故选C．