如图所示，已知四边形ABCD是圆柱的轴截面，M是下底面圆周上不与点A，B重合的点．（1）求证：平面DMB⊥平面DAM；（2）若△AMB是等腰三角形，求该圆柱与三棱锥D-AMB体积的比值．

Question

如图所示，已知四边形ABCD是圆柱的轴截面，M是下底面圆周上不与点A，B重合的点．

（1）求证：平面DMB⊥平面DAM；
（2）若△AMB是等腰三角形，求该圆柱与三棱锥D-AMB体积的比值．

Answer 1

证明：（1）∵DA⊥平面AMB，BM⊂平面AMB，
∴DA⊥BM，
∵M是底面圆周上的点，∴BM⊥AM．
又DA⊂DAM，AM⊂平面DAM，DA∩AM=A，
∴BM⊥平面DAM，又BM⊂平面DMB，
∴平面DMB⊥平面DAM．
（2）设圆柱的底面半径为r，高为h，
则V_圆柱=πr²h，
若△AMB是等腰三角形，则S_△ABM=(1)/(2)×2r×r=r²．
∴V_棱锥D-AMB=(1)/(3)S△ABM•h=(1)/(3)×r2×h=(r2h)/(3)．
∴(V圆柱)/(V棱锥D-AMB)=3π．