n元实二次型XTAX（其中AT=A）正定的充要条件是（）A．存在正交矩阵P，使PTAP=EB．负惯性指数为零C．存在n阶矩阵C，使A=CTCD．A与单位矩阵E合同

Question

n元实二次型X^TAX（其中A^T=A）正定的充要条件是（　　）

A．存在正交矩阵P，使P^TAP=E
B．负惯性指数为零
C．存在n阶矩阵C，使A=C^TC
D．A与单位矩阵E合同

Answer 1

由正定矩阵判定定理：
定理1：n元实二次型 f（x₁，x₂，…，x_n）为正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于n；
推论1：n元实二次型 f（x₁，x₂，…，x_n）正定的充分必要条件是它的矩阵A的特征值全大于零；推论2：n元二次型f=X^TAX正定（实对称矩阵A正定）的充要条件，是存在可逆C，得 C^TAC=E（即A与n阶单位矩阵E合同）．
所以可得：
选项（A）存在的正交矩阵P必须是可逆的，是充分而非必要条件；
选项（B）负惯性指数为零，正惯性指数不一定是n，是必要非充分条件；
选项（C）存在矩阵必须C是可逆的，是必要非充分条件；
故选择：D．