已知函数f（x）=x2-4x+（2-a）lnx（a∈R，且a≠0）（1）当a=18时，求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在区间[e，e2]上的最小值．

Question

已知函数f（x）=x²-4x+（2-a）ln x（a∈R，且a≠0）
（1）当a=18时，求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在区间[e，e²]上的最小值．

Answer 1

（1）当a=18时，f（x）=x²-4x-16lnx（x＞0），
所以f'（x）=2x-4-(16)/(x)=(2(x+2)(x−4))/(x)，
由f'（x）＞0，解得x＞4或一2＜x＜0，注意到x＞0，
所以函数f（x）的单调递增区间是（4，+∞）．
由f'（x）＜0，解得0＜x＜4或x＜-2．
注意到x＞0，所以函数f（x）的单调递减区间是（0，4）．
综上所述，函数f（x）的单调递增区间是（4，+∞），单调递减区间是（0.4）．
（2）当x∈[e，e²]时，f（x）=x²-4x+（2-x）lnx，
f'（x）=2x-4+(2−a)/(x)=(2x2−4x+2−a)/(x)
设g（x）=2x²-4x+2-a．
当a＜0时，有△=16-4×2（2-a）=8a＜0，此时g（x）＞0恒成立，
所以f'（x）＞0，f（x）在[e，e²]上单调递增，
所以f（x）_min=f（e）=e²-4e+2-a．
当a＞0时，△=16-4×2（2-a）=8a＞0，
令f'（x）＞0，即2x²-4x+2-a＞0，解得x＞1+(√(2a))/(2)或x＜1-(√(2a))/(2)．
令f'（x）＜0，即2x²-4x+2-a＜0，解得1-(√(2a))/(2)＜x＜1+(√(2a))/(2)．
①当1+(√(2a))/(2)≥e²，即a≥2（e2-1）2时，f（x）在区间[e，e²]上单调递减，
所以f（x）_min=f（e²）=e⁴-4e2+4-2a；
②当e＜1+

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问题解析

（1）当a=18时，f（x）=x²-4x-16lnx（x＞0），所以f'（x）=2x-4-

(16)/(x)，由此能求出f（x）的单调区间．
（2）当x∈[e，e²]时，f（x）=x²-4x+（2-x）lnx，f'（x）=2x-4+(2−a)/(x)=(2x2−4x+2−a)/(x)，构造函数g（x）=2x²-4x+2-a．由此利用分类讨论思想能求出函数f（x）在区间[e，e²]上的最小值．

名师点评

本题考点：

利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：

本题考查函数的单调区间的求法，考查函数的最小值的求法，综合性强，难度大，计算繁琐．解题时要认真审题，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用．

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