已知正实数x，y，设a=x+y，b＝x2+7xy+y2．（1）当y=1时，求ba的取值范围；（2）若以a，b为三角形的两边，第三条边长为c构成三角形，求c2xy的取值范围．

Question

已知正实数x，y，设a=x+y，b＝√(x2+7xy+y2)．
（1）当y=1时，求(b)/(a)的取值范围；
（2）若以a，b为三角形的两边，第三条边长为c构成三角形，求(c2)/(xy)的取值范围．

Answer 1

（1）由题设知，x=a-1，且a=x+1＞1
所以，(b)/(a)＝(√((a−1)2+7(a−1)+1))/(a)＝√((a2+5a−5)/(a2))＝√(−5((1)/(a)−(1)/(2))2+(9)/(4))
又a＝x+1＞1⇒(1)/(a)∈(0，1)
结合二次函数的图象知1＜−5((1)/(a)−(1)/(2))2+(9)/(4)≤(9)/(4)
故(b)/(a)的取值范围为(1，(3)/(2)]
另(b)/(a)＝(√(x2+7x+1))/(x+1)＝√(x作业帮用户2017-11-01举报举报该用户的提问举报类型（必填）色情低俗辱骂攻击侮辱英烈垃圾广告不良流行文化骗取采纳其他举报理由（必填）0/100提交问题解析（1）法一：当y=1时，x=a-1，由x，y均为正实数，代入b＝√(x2+7xy+y2)，可得(b)/(a)＝√(−5((1)/(a)−(1)/(2))2+(9)/(4))，进而根据二次函数的图象和性质得到(b)/(a)的取值范围；法二：当y=1时，根据a=x+y，b＝√(x2+7xy+y2)，可将(b)/(a)化为√(1+(5)/(x+2+(1)/(x)))的形式，进而利用基本不等式求出(b)/(a)的取值范围；（2）(c2)/(xy)＝k，则c＝√(k•xy)，由于a，b，c为三角形的三边，由“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”构造关于k的不等式组，进而根据对勾函数的单调性，求出(c2)/(xy)的取值范围．名师点评本题考点：函数的值域．考点点评：本题考查的知识点是函数的值域，基本不等式在求函数最值时的应用，对勾函数的单调性，其中（1）的关键是将(b)/(a)的表达式，根据已知进行变形，为二次函数性质的应用或基本不等式的应用创造条件，（2）的关键是设(c2)/(xy)＝k，并根据三角形的三边“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”构造关于k的不等式组．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)