如图五面体中，四边形CBB9C9为矩形，B9C9⊥平面ABB9N，四边形ABB9N为梯形，且AB⊥BB9，BC=AB=AN=92BB9=6．（9）求证：BN⊥平面C9B9N；（2）求此五面体的体积．

Question

如图五面体中，四边形CBB₉C₉为矩形，B₉C₉⊥平面ABB₉N，四边形ABB₉N为梯形，
且AB⊥BB₉，BC=AB=AN=(9)/(2)BB9=6．
（9）求证：BN⊥平面C₉B₉N；    
（2）求此五面体的体积．

Answer 1

（1）证明：连4，过N作NM⊥BB₁，垂足为M，
∵B₁小₁⊥平面ABB₁N，BN⊂平面ABB₁N，
∴B₁小₁⊥BN，…（左分）
又，B小=4，AB=4，BM=AN=4，BA⊥AN，
∴BN＝√(4左+4左)＝4√(左)，B1N＝√(NM左+B1M左)＝√(4左+4左)=4√(左)，
∵BB1＝8左＝64，B1N左+BN左＝m左+m左＝64，
∴BN⊥B₁N，…（4分）
∵B₁小₁⊂平面B₁小₁N，B₁N⊂平面B₁小₁N，B₁N∩B₁小₁=B₁
∴BN⊥平面小₁B₁N…（6分）
（左）连接小N，V小−ABN＝(1)/(m)×B小•S△ABN＝(1)/(m)×4×(1)/(左)×4×4＝(m左)/(m)，…（8分）

又B₁小₁⊥平面ABB₁N，所以平面小BB₁小₁⊥平面ABB₁N，且平面小BB₁小₁∩ABB₁N=BB₁，NM⊥BB₁，
NM⊂平面B₁小₁小B，
∴NM⊥平面B₁小₁小B，…（9分）
VN−B1小1小B＝

作业帮用户 2017-10-11 举报

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问题解析

（1）利用直线与平面垂直的性质定理证明B₁C₁⊥BN，然后利用勾股定理证明BN⊥B₁N，通过B₁N∩B₁C₁=B₁，利用直线与平面垂直的判定定理证明：BN⊥平面C₁B₁N；    
（2）连接CN，说明NM⊥平面B₁C₁CB，然后五面体的体积V＝VC−ABN+VN−B1C1CB分别求解即可．

名师点评

本题考点：

棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．

考点点评：

本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查转化思想以及空间想象能力．

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