已知正项等比数列{bn}（n∈N+）中，公比q>1，b3+b5=40，b3b5=256，an=log2bn+2．（1）求证：数列{an}是等差数列；（2）若cn=1an+an+1，求数列{cn}的前n项和Sn．

Question

已知正项等比数列{b_n}（n∈N₊）中，公比q>1，b₃+b₅=40，b₃b₅=256，a_n=log₂b_n+2．
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）若c_n=(1)/(an+an+1)，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（1）证明：由题可知设数列首项b₁>0，
∵b₃+b₅=40，b₃b₅=256，
∴

b1q2+b1q4=40

b1q2b1q4=256

，
解得q=2或q=(1)/(2)（舍），
又∵b₃+b₅=40，即b1q2+b1q4=40，
∴b₁=(40)/(q2(1+q2))=(40)/(4×(1+4))=2，
∴b_n=2×2^（n-1）=2ⁿ，
∴a_n=log₂b_n+2=n+2，
∴数列{a_n}是以3为首项、1为公差的等差数列；
（2） ∵c_n=(1)/(anan+1)=(1)/(n+2)-(1)/(n+3)，
∴S_n=(1)/(3)-(1)/(4)+(1)/(4)-(1)/(5)…+(1)/(n+2)-(1)/(n+3)=(1)/(3)-(1)/(n+3)=(n)/(3n+9)．