已知数列{an}的前n项和为Sn，对于任意的正整数n都有Sn=n2，且各项均为正数的等比数列{bn}中，b6=b3b4，且b3和b5的等差中项是10．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）若cn=an•bn，求数列{cn}的

Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对于任意的正整数n都有S_n=n²，且各项均为正数的等比数列{b_n}中，b₆=b₃b₄，且b₃和b₅的等差中项是10．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
经检验n=1时也成立，
∴a_n=2n-1；
等比数列{b_n}中，∵b₆=b₃b₄，∴b1q5=

b

2 1

q2•q3，解得b₁=1．
设公比q>0，由b₃和b₅的等差中项是10．
可知b₃+b₅=20．
∴q²+q⁴=20，
解得q=2，
从而b_n=2^n-1．
（2）若c_n=a_n•b_n=（2n-1）•2^n-1，
∴T_n=1+3×2+5×2²+…+（2n-1）•2^n-1，
2T_n=2+3×2²+…+（2n-3）×2^n-1+（2n-1）•2ⁿ，
两式相减，得-T_n=1+2（2+2²+…+2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ=1+2×(2(2n-1-1))/(2-1)-（2n-1）•2ⁿ=-3+（3-2n）•2ⁿ，
∴T_n=3+（2n-3）•2ⁿ．