已知Sn是公差为d≠0的等差数列{an}的前n项和，{bn}是公比为1-d的等比数列，若b1=a1，b2=a1a2，b3=a2a3，则limn→∞Sna2n=1313．

Question

已知S_n是公差为d≠0的等差数列{a_n}的前n项和，{b_n}是公比为1-d的等比数列，若b₁=a₁，b₂=a₁a₂，b₃=a₂a₃，则

lim

n→∞

(Sn)/(a2n)=

(1)/(3)

(1)/(3)

．

Answer 1

由等比数列的定义可得 (b2)/(b1)＝ (b3)/(b2)＝  1−d，即a₂=(a3)/(a1)=1-d，∴a₁+d=1-d，
∴a₁=1-2d，a₃=2d²-3d+1，∴2（1-d）=（1-2d ）+（2d²-3d+1），∴d=(3)/(2)，a₁=-2，
∴a_n=-2+（n-1）(3)/(2)=(3)/(2)n-(7)/(2)，a_n²=(9n2−42n+49)/(4)，
S_n =na₁ +(n(n−1)d)/(2)=(3n2−11n)/(4)，
∴

lim

n→∞

(Sn)/(an2)=

lim

n→∞

(3n2−11n)/(9n2−42n+49)=

lim

n→∞

(3−(11)/(n))/(9−(42)/(n)+(49)/(n2))=(3−0)/(9−0+0)=(1)/(3)，
答案为 (1)/(3)．