设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D．若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于（）A．34B．33C．24D．23

Question

设椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，过F₂作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F₁B与y轴相交于点D．若AD⊥F₁B，则椭圆C的离心率等于（　　）

A．(√(3))/(4)
B．(√(3))/(3)
C．(√(2))/(4)
D．(√(2))/(3)

Answer 1

不妨假设椭圆中的a=1，则F₁（-c，0），F₂（c，0），
当x=c时，由(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1得y=(b2)/(a)=b²，即A（c，b²），
B（c，-b²），
设D（0，m），∵F₁，D，B三点共线，
∴(m)/(c)=(b2)/(−2c)，解得m=-(b2)/(2)，即D（0，-(b2)/(2)），
∴若AD⊥F₁B，
则k_AD•k_F1B=-1，
即(b2+(b2)/(2))/(c)•(−b2)/(−c−c)=-1，
即3b⁴=4c²，
则√(3)b²=2c=√(3)（1-c²）=2c，
即√(3)c²+2c-√(3)=0，
解得c=(−2±√(4+4×√(3)×√(3)))/(2√(3))=(−2±4)/(2√(3))，
则c=(2)/(2√(3))=(√(3))/(3)，
∵a=1，
∴离心率e=(c)/(a)=(√(3))/(3)，
故选B．