已知椭圆x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈[π12，π6]，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．[3−1，63]B．[22，1)C．[22，32]D．[3

Question

已知椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈[(π)/(12)，(π)/(6)]，则该椭圆离心率e的取值范围为（　　）

A．[√(3)−1，(√(6))/(3)]
B．[(√(2))/(2)，1)
C．[(√(2))/(2)，(√(3))/(2)]
D．[(√(3))/(2)，(√(6))/(3)]

Answer 1

把x=c代入椭圆的方程可得(c2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1，解得y＝±(b2)/(a)．
取A(c，(b2)/(a))，则B(−c，−(b2)/(a))，
∵∠OBF=∠AOF-∠OFB，tan∠AOF＝(b2)/(ac)，tan∠OFB＝((b2)/(a))/(2c)=(b2)/(2ac)
∴tanα=tan∠OBF=(tan∠AOF−tan∠OFB)/(1+tan∠AOF•tan∠OFB)=((b2)/(ac)−(b2)/(2ac))/(1+(b4)/(2a2c2))=(acb2)/(2a2c2+b4)=(ac(a2−c2))/(2a2c2+(a2−c2)2)=(e(1−e2))/(1+e4)，
∵α∈[(π)/(12)，(π)/(6)]，∴2−√(3)≤tanα≤(√(3))/(3)，
∴2−√(3)≤(e(1−e2))/(1+e4)≤(√(3))/(3)．
解得√(3)−1≤e≤(√(6))/(3)．
故选A．