在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，M为B1C1的中点，N是BC上一点．（Ⅰ）若平面AB1N∥平面A1MC，求证：N为BC的中点；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若A1B1=A1C1，B1C=B1B，求证：平面A1MC⊥平面ABC．

Question

在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M为B₁C₁的中点，N是BC上一点．

（Ⅰ）若平面AB₁N∥平面A₁MC，求证：N为BC的中点；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若A₁B₁=A₁C₁，B₁C=B₁B，求证：平面A₁MC⊥平面ABC．

Answer 1

证明：（Ⅰ）∵平面AB₁N∥平面A₁MC，
平面A₁MC∩平面B₁BCC₁=MC，
AB₁N∩平面B₁BCC₁=B₁N，所以MC∥B₁N

因为M为B₁C₁中点，所以N为BC中点；
（Ⅱ）A₁B₁=A₁C₁，且M为中点，所以A₁M⊥B₁C₁，B₁C=BB₁⇒B₁C=C₁C，M为中点，所以CM⊥B₁C₁，
又A₁M∩MC=M，则B₁C₁⊥平面A₁MC，
又B₁C₁∥BC，所以BC⊥平面A₁MC，
又BC⊂平面ABC，所以平面A₁MC⊥平面ABC．