已知：正十边形的半径为R.求证：正十边形的边长a10=1∕2(√5-1)R.

Question

已知：正十边形的半径为R.求证：正十边形的边长a10=1∕2(√ 5-1)R.

Answer 1

圆周360度,十边行,则对应角度为36度
则所求边长为R*sin18*2
求sin18
sin54°=sin(90°-36°)=cos36°
其中由三倍角公式和二倍角公式有：
sin54°=-4(sin18°)^3+3sin18°
cos36°=1-2(sin18°)^2
代入sin54°=cos36°移项有方程
4(sin18°)^3-2(sin18°)^2-3sin18°+1=0
分解方程为(sin18°-1)[4(sin18°)^2+2sin18°-1]=0
共有三个
sin18°=1
sin18°=(-1+√5)/4
sin18°=(-1-√5)/4
验算有sin18°=(-1+√5)/4是唯一解
所以a10=1∕2(√ 5-1)R