10支球队进行单循环赛（每两队间各赛一场）,用a1,b1,顺次表示第1队的胜、负场数……a10,b10顺次表示第10队的胜、负场数,试证明：a21+a22+…+a210=b21+b22…+b210

Question

10支球队进行单循环赛（每两队间各赛一场）,用a1,b1,顺次表示第1队的胜、负场数……a10,b10顺次表示第10队的胜、负场数,试证明：a21+a22+…+a210=b21+b22…+b210

Answer 1

10支球队进行单循环赛,每队9场
所以a1+b1=a2+b2=……=a10+b10=9
且每队获胜数的和等于输的和
a1+a2+……+a10=b1+b2-……+b10
所以(a1)^2+……+(a10)^2-(b1)^2-……(b10)^2
=(a1+b1)(a1-b1)+(a2+b2)(a2-b2)+……+(a10+b10)(a10-b10)
=9(a1-b1+a2-b2+……+a10-b10)
=9[(a1+a2+……+a10)-(b1+b2-……+b10)]
=9*0
=0
所以(a1)^2+……+(a10)^2=(b1)^2+……+(b10)^2