判断方阵A7*6B6*7总是不可逆(6*7和7*6是下角标)（）两个初等矩阵的乘积一定是初等矩阵（）计算设向量a={a1,a2,…,an},b={b1,b2,…,bn},A=aTb(aTa的转置）（1）求A的n次方；（2）求A的n次方的特征

Question

判断
方阵A7*6B6*7总是不可逆(6*7和7*6是下角标) （ ）
两个初等矩阵的乘积一定是初等矩阵 （ ）
计算
设向量a={a1,a2,…,an},b={b1,b2,…,bn},A=aTb (aTa的转置）
（1）求A的n次方 ；（2）求A的n次方的特征值与特征向量

Answer 1

1.真命题
A和B的秩至多是6,所以AB的秩至多是6,不可能满秩（满秩是7）.
2.假命题
初等矩阵是初等变换对应的矩阵,连续2次初等变换不一定还是初等变换.
3.（1）以下记A的转置为A'
A^n=(a'b)^n=a'(ba')^(n-1)b=a'[∑a(k)b(k)]^(n-1)b=a'b[∑a(k)b(k)]^(n-1)
=
|a(1)b(1) ...a(1)b(n)|
|.....|[∑a(k)b(k)]^(n-1)
|a(n)b(1) ...a(n)b(n)|
（2）我只做出一个：因为A的秩至多为1,故A的行列式为0.故0一定是A的特征值.对应的特征向量自己去算.（共有n-1个线性无关的特征向量）
还有一个特征值就不会做了.