a6=-1000=-a2+a1-2a2+2a1=-2000不懂,请指教.若数列{an]的前项和为Sn，数列{an}满足an+2=an+1-an,S63=4000,S125=1000,则S2011=？注意：an+2（为n+2),an+1为（n+1)

Question

a6=-1000=-a2+a1 -2a2+2a1=-2000 不懂,请指教.
若数列{an]的前项和为Sn，数列{an}满足an+2=an+1-an,S63=4000,S125=1000,则S2011=？注意：a n+2（为n+2),a n+1为（n+1)

Answer 1

令a1=a,a2=b
则 a3=b-a,a4=-a,a5=-b,a6=a-b a7=a,a8=b
有此观察可得：数列{an}是一个循环数列,循环节长度为6,即有
a(6k+i)=ai
再注意：a1+a2+a3+a4+a5+a6=0
S6=0,以及S6k=0.
S63=S60+a61+a62+a63
=0+a1+a2+a3
a+b+b-a=4000,2b=4000,b=2000
S125=S126-a126=0-a6
-a6=1000,-(a-b)=1000,b-a=1000,2000-a=1000,a=1000
S2011=S2010+a2011=S(6*335)+a(6*335+1)=0+a1=a1=1000
附记：这里a1,a2未知,递推较困难,因此将a1,a2设出来,估计S63与S125可得两个方程,可能能够解出a1,a2,为了更容易看出结论,再具体的计算几个ai,于是得到解答的方法.
分析：
根据递推公式an+2=an+1-an可知,此数列为周期为T=6的周期数列,并且每6项的和为0,再根据前63项的和,前125项的和,计算出a1即可知前2011项的和．
由题意知：
∵an+2=an+1-an 令n=n+1得
∴an+3=an+2-an+=an+1-an-an+1=-an
再令n=n+3得：an+6=-an+3=an
所以 T=6
又∵前6项分别为：a1,a2,a2-a1,-a1,-a2,a1-a2
∴每6项和为0,即s6=0
又∵s63=a1+a2+a3=2a2=4000
∴a2=2000
又∵s125=a1+a2+a3+a4+a5=a2-a1=1000
∴a1=1000
又∵s2011=a1
所以s2011=1000