已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn+1=4an+2，a1=1．（1）设bn=an+1-2an，求证{bn}是等比数列（2）设Cn＝an2n，求证{Cn}是等差数列（3）求数列{an}的通项公式及前n项和公式．

Question

已知数列{a_n}中，S_n是它的前n项和，并且S_n+1=4a_n+2，a₁=1．
（1）设b_n=a_n+1-2a_n，求证{b_n}是等比数列
（2）设Cn＝(an)/(2n)，求证{C_n}是等差数列
（3）求数列{a_n}的通项公式及前n项和公式．

Answer 1

（1）S_n+1=S_n+a_n+1=4a_n-1+2+a_n+1
∴4a_n+2=4a_n-1+2+a_n+1
∴a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）
即：(bn)/(bn−1)＝(an+1−2an)/(an−2an−1)＝2 (n≥2)且b₁=a₂-2a₁=3
∴{b_n}是等比数列
（2）{b_n}的通项b_n=b₁•q^n-1=3•2^n-1
∴Cn+1−Cn＝(an+1)/(2n+1)−(an)/(2n)＝(an+1−2an)/(2n+1)＝(bn)/(2n+1)＝(3)/(4)(n∈N*)
又C1＝(a1)/(2)＝(1)/(2)
∴{C_n}为等差数列
（3）∵C_n=C₁+（n-1）•d
∴(an)/(2n)＝(1)/(2)+(n−1)•(3)/(4)
∴a_n=（3n-1）•2^n-2（n∈N^*）
S_n+1=4•a_n+2=4•（3n-1）•2^n-2+2=（3n-1）•2ⁿ+2
∴S_n=（3n-4）2^n-1+2（n∈N^*）