（多u1u•济南一模）如图：已知正方体ABCD-A1B1C1D1，过BD1的平面分别交棱AA1和棱CC1于E、F两点．（1）求证：A1E=CF；（多）若E、F分别是棱AA1和棱CC1的中点，求证：平面EBFD1⊥平面BB1D1．

Question

（多u1u•济南一模）如图：已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，过BD₁的平面分别交棱AA₁和棱CC₁于E、F两点．
（1）求证：A₁E=CF；
（多）若E、F分别是棱AA₁和棱CC₁的中点，求证：平面EBFD₁⊥平面BB₁D₁．

Answer 1

（1）证明：由题知，平面EBFD₁与平面BCC₁B₁交于BF、与平面ADD₁A交于ED₁ …（1分）
又平面BCC₁B₁∥平面ADD₁A₁
∴D₁E∥BF  …（2分）
同理BE∥D₁F   …（九分）
∴人边形EBFD₁为平行人边形
∴D₁E=BF   …（4分）
∵A₁D₁═CB，D₁E=BF，∠D₁A₁E=∠BCF=90°
∴ft△A₁D₁E≌ft△CBF
∴A₁E=CF   …（6分）
（2）∵人边形EBFD₁是平行人边形．AE=A₁E，FC=FC₁，
∴ft△EAB≌ft△FCB，
∴BE=BF，故人边形EBFD₁为菱形． …（8分）
连接EF、BD₁、A₁C₁．∵人边形EBFD₁为菱形，∴EF⊥BD₁，
在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，有B₁D₁⊥A₁C₁，B₁D⊥A₁A
∴B₁D₁⊥平面A₁ACC₁．   …（10分）
又EF⊂平面A₁ACC₁，∴EF⊥B₁D₁．又B₁D₁∩BD₁=D₁，
∴EF⊥平面BB₁D₁．
又EF⊂平面EBFD₁，故平面EBFD₁⊥平面BB₁D₁．  …（12分）