三次方程y3+ay2+by+c=0,abc为整数,甲任选一个字母取值,乙再任选一个取值,甲对第三字母取值.如果确定去之后的方程有三个整数根,甲赢甲如何能赢

Question

三次方程y3+ay2+by+c=0,abc为整数,甲任选一个字母取值,乙再任选一个取值,甲对第三字母取值.如果确定去之后的方程有三个整数根,甲赢甲如何能赢

Answer 1

设原方程最后可分解,-d,-e,-f为其三个整数根
有(x+d)(x+e)(x+f)=0
=>
x^3+(d+e+f)x^2+(de+ef+fd)x+def=0
与原式比较有
a=d+e+f,b=de+ef+fd,c=def ……（1式）
从上式得,c是个关键的数,c若是取到质数,则a和b完全确定(a=c+2,b=2c+1),所以这个数绝不能被后者取得.
所以先取者一定要先取c,但实际上c只能取0,c取任何非零值,由于有要求整数解的限制,后者只要对c进行所有情况的质因数分解,总可以找到使1式无法满足的a或b值.
所以先取者只能先取c且c必须取0
这样式子可化为x(x^2+ax+b)=0
原式有一固定整数解x=0,无论后者取a或b,都能找到对应b或a值使(x^2+ax+b)可分解.