证明：方程x5+x-1=0只有一个正根．

Question

证明：方程x⁵+x-1=0只有一个正根．

Answer 1

证明：考查函数f（x）=x⁵+x-1，
∵f′（x）=5x⁴+1>0，
∴函数f（x）=x⁵+x-1在（-∞，+∞）上是增函数，
又f（0）=-1<0，f（1）=1>0，
∴函数f（x）=x⁵+x-1在区间（0，1）有一个零点x₀．
∴方程x⁵+x-3=0在区间（0，1）内有唯一的实数解，
∴方程x⁵+x-1=0只有一个正根．