设（2x+1）6=a0x6+a1x5+a2x4+a3x3+a4x2+a5x+a6，这是关于x的一个恒等式（即对于任意x都成立）．请设法求得以下三式的数值：（1）a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6；（2）a1+a3+a5；（3）a2+a4

Question

设（2x+1）⁶=a₀x⁶+a₁x⁵+a₂x⁴+a₃x³+a₄x²+a₅x+a₆，这是关于x的一个恒等式（即对于任意x都成立）．请设法求得以下三式的数值：
（1）a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆；（2）a₁+a₃+a₅；（3）a₂+a₄

Answer 1

（1）令x=1，得a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆=（2+1）⁶=729 ①；

（2）令x=-1，得a₀-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅+a₆=（-2+1）⁶=1 ②
①-②得2（a₁+a₃+a₅）=729-1=728，
∴a₁+a₃+a₅=364 ③；

（3）①+②得2（a₀+a₂+a₄+a₆）=730，
得a₀+a₂+a₄+a₆=365 ④
令x=0，得a₆=1，又a₀为最高次项系数为2⁶，得a₂+a₄=300．