已知X,Y都为整数,且满足(1/X+1/Y)(1/X^+1/Y^)=-2/3(1/X4-1/Y4),则X+Y的可能值有几个?

Question

已知X,Y都为整数,且满足(1/X+1/Y)(1/X^+1/Y^)=-2/3(1/X4-1/Y4),则X+Y的可能值有几个?

Answer 1

利用平方差公式
（1/x + 1/y）（1/x² + 1/y²）=-2/3（（1/x² + 1/y²）（1/x² - 1/y²）
消去（1/x² + 1/y²）得（1/x + 1/y）=-2/3（1/x² - 1/y²）
继续使用平方差公式消去（1/x + 1/y）得
1/x - 1/y=-3/2
将y用x表示出来得 y= 2x/（3x+2）
因为当x大于0时,3x+2＞2x 所以0＜2x/（3x+2）＜1则y不是整数
所以x≤-1
3x+2＜0 ,2x＜0
由 2x/（3x+2）≥1解得x≥-2
所以x只能取 -2,-1
当x=-2时,y=-4/（-4）=1
当x=-1时,y=-2/（-1）=2
所以x+y=-2+1=-1
或x+y=-1+2=1
x+y可能值只有±1两种