设ω=cosπ5+isinπ5，则以ω，ω3，ω7，ω9为根的方程是（）A．x4+x3+x2+x+1=0B．x4-x3+x2-x+1=0C．x4-x3-x2+x+1=0D．x4+x3+x2-x-1=0

Question

设ω=cos(π)/(5)+isin(π)/(5)，则以ω，ω³，ω⁷，ω⁹为根的方程是（　　）

A．x⁴+x³+x²+x+1=0
B．x⁴-x³+x²-x+1=0
C．x⁴-x³-x²+x+1=0
D．x⁴+x³+x²-x-1=0

Answer 1

因为ω=cos(π)/(5)+isin(π)/(5)，所以ω⁵+1=(cos(π)/(5)+isin(π)/(5))5+1=cosπ+isinπ+1=0，
所以ω=cos(π)/(5)+isin(π)/(5)是方程x⁵+1=0的一个根，
因为-1=cosπ+isinπ，
则-1的5次方根为coc(π+2kπ)/(5)+isin(π+2kπ)/(5)（k=0，1，2，3，4），
当k=0时为ω，当k=1时为ω³，当k=3时为ω⁷，当k=4时为ω⁹，
而x⁵+1=（x+1）（x⁴-x³+x²-x+1）=0，
故ω，ω³，ω⁷，ω⁹ 都是方程x⁴-x³+x²-x+1=0．
故选B．