已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0，是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦长AB为直径的圆过原点，若存在求出直线的方程l，若不存在说明理由．

Question

已知圆C：x²+y²-2x+4y-4=0，是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦长AB为直径的圆过原点，若存在求出直线的方程l，若不存在说明理由．

Answer 1

圆C化成标准方程为（x-1）²+（y+2）²=9，假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a，b）．
∵CM⊥l，即k_CM•k_l=(b+2)/(a−1)×1=-1
∴b=-a-1
∴直线l的方程为y-b=x-a，即x-y-2a-1=0
∴|CM|²=（(|1+2−2a−1|)/(√(2))）²=2（1-a）²
∴|MB|²=|CB|²-|CM|²=-2a²+4a+7
∵|MB|=|OM|
∴-2a²+4a+7=a²+b²，得a=-1或(3)/(2)，
当a=(3)/(2)时，b=-(5)/(2)，此时直线l的方程为x-y-4=0
当a=-1时，b=0，此时直线l的方程为x-y+1=0
故这样的直线l是存在的，方程为x-y-4=0或x-y+1=0．