若f（x）=x-1-alnx，g（x）=exex，a<0，且对任意x1，x2∈[3，4]（x1≠x2），|f（x1）-f（x2）|<|1g(x1)-1g(x2)|的恒成立，则实数a的取值范

Question

若f（x）=x-1-alnx，g（x）= (ex)/(ex)，a<0，且对任意x₁，x₂∈[3，4]（x₁≠x₂），|f（x₁）-f（x₂）|<| (1)/(g(x1))- (1)/(g(x2))|的恒成立，则实数a的取值范围为___．

Answer 1

易知f(x)，(1)/(g(x))在x∈[3，4]上均为增函数，
不妨设x₁<x₂，则|f(x1)-f(x2)|<|(1)/(g(x1))-(1)/(g(x2))| 等价于f(x2)-f(x1)<(1)/(g(x2))-(1)/(g(x1))，
即f(x2)-(1)/(g(x2))<f(x1)-(1)/(g(x1))；
令h(x)=f(x)-(1)/(g(x))=x-1-alnx-(ex)/(ex)，则h（x）在x∈[3，4]为减函数，
则h(x)′=1-(a)/(x)-(ex(x-1))/(ex2)≤0在x∈（3，4）上恒成立，
∴a≥x-ex-1+(ex-1)/(x)，x∈[3，4]恒成立；
令u(x)=x-ex-1+(ex-1)/(x)，x∈[3，4]，
∴u′(x)=1-ex-1+(ex-1(x-1))/(x2)=1-ex-1[((1)/(x)-(1)/(2))2+(3)/(4)]，x∈[3，4]，
∴u（x）为减函数，∴u（x）在x∈[3，4]的最大值为u(3)=3-(2)/(3)e2；
综上，实数a的取值范围为[3-(2)/(3)e2，0）．
故答案为：[3-(2)/(3)e2，0）．