设∑为曲面z=2-x2-y2介于z=1及z=2之间部分的上侧，求：I=∬（x3z+x）dydz-x2yzdzdx-x2z2dxdy．

Question

设∑为曲面z=2-x²-y²介于z=1及z=2之间部分的上侧，求：
I=

∬

（x³z+x）dydz-x²yzdzdx-x²z²dxdy．

Answer 1

作取下测的辅助面Σ₁：z=1，Dxy：x2+y2≤1．
则Σ与Σ₁一起构成一个闭曲面，记它们围成的空间闭区域为Ω．
由高斯公式得
I=(

∫∫

∑+∑1

-

∫∫

∑1

)（x³z+x）dydz-x²yzdzdx-x²z²dxdy
=

∫∫∫

Ω

dxdydz-(-1)

∫∫

Dxy

(-x2)dxdy
=

∫

2π    0

dθ

∫

1    0

rdr

∫

2-r2    1

dz-

∫

2π    0

cos2θ dθ

∫

1    0

r3dr=(π)/(4)．