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Y乘根号下(2y-y平方）怎么积分?
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Y乘根号下(2y-y平方）怎么积分?
▼优质解答
答案和解析
设该积分为J,则
J=∫y√(2y-y²)dy
=∫y√[1-(1-2y+y²)]dy
=∫√y√[1-(1-y)²)]dy
设1-y=cost,则
y=1+cost,dy=-sintdt
原式变为
J=∫[(1+cost)sint(-sint)]dt
=-∫(sin²t)(1+cost)dt
=-∫(sin²t)dt-∫(sin²tcost)dt
=-∫(1/2)(1-cos2t)dt-∫(sin²t)d(sint)
=-t/2+sin2t/4-sin³t/3+C
其中,t=arccos(1-y),
sint=√(2y-y²),
sin2t=2sintcost=2(1-y)√(2y-y²)
J=∫y√(2y-y²)dy
=∫y√[1-(1-2y+y²)]dy
=∫√y√[1-(1-y)²)]dy
设1-y=cost,则
y=1+cost,dy=-sintdt
原式变为
J=∫[(1+cost)sint(-sint)]dt
=-∫(sin²t)(1+cost)dt
=-∫(sin²t)dt-∫(sin²tcost)dt
=-∫(1/2)(1-cos2t)dt-∫(sin²t)d(sint)
=-t/2+sin2t/4-sin³t/3+C
其中,t=arccos(1-y),
sint=√(2y-y²),
sin2t=2sintcost=2(1-y)√(2y-y²)
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