已知x2+3x+6是多项式x4-6x3+mx2+nx+36的一个因式,试确定m,n的值,并求出它的其他因式包括这题,最好也一起解答：试确定a和b,使x4+ax2-bx+3能被x2-2x-3整除（x2是x的2次方）

Question

已知x2+3x+6是多项式x4-6x3+mx2+nx+36的一个因式,试确定m,n的值,并求出它的其他因式
包括这题,最好也一起解答：
试确定a和b,使x4+ax2-bx+3能被x2-2x-3整除
（x2是x的2次方）

Answer 1

（1）设 x^4-6x^3+mx^2+nx+36=(x^2+3x+6)(x^2+px+q)
=x^4+(3+p)x^3+(6+3p+q)x^2+(6p+3q)+6q ,
比较两边系数可得四个方程：
3+p= -6 ,------------①
6+3p+q=m ,-----------②
6p+3q=n ,-----------③
6q=36 ,------------④
由 ①、④ 可得 p= -9 ,q=6 ,
代入 ②、③ 可得 m= -15 ,n= -36 .它的另一因式是 x^2-9x+6 .
（2）设 x^4+ax^2-bx+3=(x^2-2x-3)(x^2+cx+d)=x^4+(c-2)x^3+(d-2c-3)x^2+(-2d-3c)x-3d ,
仿上题,比较系数可得四个方程,然后解出 a、b、c、d .
还可采用另一法：设 x^4+ax^2-bx+3=(x^2-2x-3)*f(x) ,其中 f(x) 是二次多项式,
上式对任一实数 x 均成立,
因此取 x= -1 得 1+a+b+3=0 ,
取 x=3 得 81+9a-3b+3=0 ,
解得 a= -8 ,b=4 .