设平面区域D是由曲线x=3y，y=3x，x+y=8所围成，求∫∫Dx2dxdy．

Question

设平面区域D是由曲线x=3y，y=3x，x+y=8所围成，求

∫∫

D

x2dxdy．

Answer 1

由函数围成的积分区域的图象可知：
积分区域D₁={(x，y)|0≤x≤2，(x)/(3)≤y≤3x}
        D₂={(x，y)|2≤x≤6，(x)/(3)≤y≤8−x}
 则

∫∫

D

x2dxdy＝

∫∫

D1

x2dxdy+

∫∫

D2

x2dxdy=

∫

2 0

x2dx

∫	3x (x)/(3)

dy+

∫

6 2

x2dx

∫	8−x (x)/(3)

dy
=

∫

2 0

x2(3x−(x)/(3))dx+

∫

6 2

x2(8−x−(x)/(3))dx
=

∫

2 0

(8x3)/(3)dx+

∫

6 2

(8x2−(4)/(3)x3)dx
=(2)/(3)x4

|

2 0

+((8)/(3)x3−(1)/(3)x4)

|

6 2

=(416)/(3)．